ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (2024)

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Freitag, 22. Juni 2018 um 20:01 Uhr

Was die ABC-Formel ist und wie man sie benutzt, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

  • Eine Erklärung, was die ABC-Formel ist und wozu man sie braucht.
  • Beispiele zum Anwenden der ABC-Formel.
  • Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
  • Ein Video zu diesem Thema
  • Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Hinweis: Die ABC-Formel wird manchmal auch Mitternachtsformel genannt. Wer diese Formel nicht mag, kann die Aufgaben auch mit der PQ-Formel lösen.

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Erklärung: ABC-Formel

Die ABC-Formel verwendet man in der Mathematik dazu quadratische Gleichungen bzw. quadratische Funktionen zu lösen. Eine quadratische Gleichung bzw. Funktion sieht so aus:

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (1)

Hier noch einige Beispiele für quadratische Funktionen / Gleichungen:

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (2)

Mit der ABC-Formel kann man Nullstellen berechnen. Nullstellen sind die Stellen, bei denen y = 0 ist. Es sind damit die Stellen, an denen der Verlauf einer Funktion die x-Achse schneidet. Die nächste Grafik zeigt ein Beispiel. Die Nullstellen sind dabei rot eingekreist.

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (3)

An den roten eingekreisten Stellen - also den Nullstellen - ist y = 0. Dies nutzen wir bei der Berechnung aus. Haben wir eine quadratische Funktion oder Gleichung und suchen bei dieser die Nullstellen, dann müssen wir diese in eine Form mit = 0 bringen. Danach kann die ABC-Formel verwendet werden, um die Nullstellen zu berechnen. Die allgemeine Form:

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (4)

Ob die quadratische Funktion eine, zwei oder gar keine Nullstellen hat, hängt von dem ab, was unter der Wurzel steht (Diskriminante).

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Beispiele ABC-Formel

Sehen wir uns einige Beispiele zur ABC Formel an. Dabei gehen wir die Frage an: Wie kann man die ABC-Formel einsetzen?

Beispiel 1: ABC-Formel mit zwei Nullstellen

Berechnet werden sollen die Nullstellen der Gleichung 3x2 + 9x + 5 = -1. Wo liegen diese?

Lösung:

Wir formen die Gleichung zunächst so um, dass wir ein = 0 erhalten. Danach lesen wir a, b und c ab. Dies wurde farblich markiert. Wir können dies im Anschluss in die ABC-Formel einsetzen. Wir rechnen zunächst alles unter der Wurzel aus und erhalten eine 9. Die Wurzel aus 9 ziehen wir und erhalten 3. Als nächstes können wir beide Nullstellen berechnen. Dabei nehmen wir einmal ein Plus vor der 3 und einmal ein Minus vor der 3.

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (5)

Wir erhalten damit die Nullstellen bei x = -1 und x = -2.

Beispiel 2: ABC-Formel ohne Nullstellen

Im zweiten Beispiel haben wir die Gleichung 2x2 + 3x + 30 = 0. Wo liegen die Nullstellen?

Lösung:

Díe Gleichung ist bereits in der Form mit = 0. Aus diesem Grund müssen wir hier keine Umformung durchführen. Aus der Gleichung können wird direkt a = 2, b = 3 und c = 30 ablesen. Dies setzen wir in die Lösungsformel ein. Dabei entsteht ein "Problem". Die Diskriminante - also das was unter der Wurzel steht - wird negativ. In der Schule lernt man, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann. Aus diesem Grund ist die Berechnung an dieser Stelle fertig und es gibt keine Nullstellen.

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (6)

Beispiel 3: Doppelte Nullstelle

Gegeben sei die Gleichung x2 + 4x + 4 = 0. Berechne mit der ABC-Formel die Nullstellen.

Lösung:

Wir können direkt a = 1, b = 4 und c = 4 ablesen. Die setzen wir in die Lösungsgleichung ein. Unter der Wurzel entsteht dabei eine 0. Dies führt bei der Berechnung mit + und mit - vor der Null dazu, dass wir zwei Mal die selbe Zahl für x erhalten. Bei x = -2 liegt damit eine doppelte Nullstelle vor.

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (7)

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Aufgaben / Übungen zur ABC-Formel

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Video ABC-Formel

Erklärungen und Beispiele

In diesem Video sehen wir uns die ABC-Formel an:

  • Was ist die ABC-Formel?
  • Was kann man damit lösen?
  • Es werden Beispiele vorgerechnet.

Nächstes Video »

Fragen mit Antworten zur ABC-Formel

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur ABC-Formel an.

F: Wo liegt der Unterschied zwischen PQ-Formel und ABC-Formel?

A: Bei der PQ-Formel musste vor x2 immer eine 1 stehen. Liegt hier keine 1 vor, musste man die Gleichung umformen, um diese zu erzeugen. Bei der ABC-Formel ist dies nicht der Fall. Hier ist bei der Lösung die Zahl vor x2 einfach das a. In beiden Fällen muss jedoch die Gleichung so umgeformt werden, dass wir = 0 dabei haben. Wer noch mehr zur PQ-Formel lernen möchte, sieht bitte in den Artikel PQ-Formel rein.

F: Was sagt die Diskriminante aus?

A: Die Diskriminante ist das, was man bei der ABC-Formel unter der Wurzel hat. Hier gibt es drei Möglichkeiten:

  • Die Diskriminante ist größer als Null: Es liegen damit zwei Nullstellen vor.
  • Die Diskriminante ist kleiner als Null: Es gibt keine Nullstellen (im reellen).
  • Die Diskriminante ist genau Null: Es gibt eine (doppelte) Nullstelle.

F: Gibt es die ABC-Formel auch ohne c?

A: Zum Beispiel bei der Gleichung x2 + 3x = 0 gibt es kein c. In diesem Fall wird c einfach mit c = 0 in die Lösungsformel eingesetzt.

F: Wie kann man die ABC-Formel herleiten?

A: Die Herleitung / Beweise zur ABC-Formel findet ihr unter ABC-Formel Herleitung / Beweis.

ABC-Formel: Beispiele und Erklärung (2024)

FAQs

Wie funktioniert die abc-Formel? ›

Herleitung der abc-Formel

Die abc-Formel entsteht aus der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ax2+bx+c=0( a≠ 0) durch quadratische Ergänzung.

Ist abc-Formel und PQ Formel das gleiche? ›

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Neben der quadratischen Ergänzung und der p-q-Formel gibt es noch die sogenannte Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, in Mathe.

Wann verwendet man die abc-Formel und wann die PQ Formel? ›

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel, die besonders für das Lösen gemischtquadratischer Gleichungen der Form 0=ax2+bx+c geeignet ist. Wenn a=1 ist, kannst du alternativ auch die p-q-Formel für die Lösung nutzen.

Wie lautet die allgemeine PQ Formel? ›

Wie lautet die allgemeine pq Formel? Die pq Formel erhältst du so: Löse eine quadratische Gleichung in Normalform x²+px+q=0 mit quadratischer Ergänzung nach x auf. Das Ergebnis ist die allgemeine pq Formel.

Wie funktioniert ABC Methode? ›

Die Faustregel besagt, dass die A-Aufgaben mindestens 60 Prozent, die B-Aufgaben 25 Prozent und die C-Aufgaben 15 Prozent einnehmen sollen. Verplant aber nicht den kompletten Arbeitstag, sondern nur 75 Prozent dessen, um Puffer für spontan auftretende Aufgaben oder länger dauernde Prozesse zu haben.

Wie geht der Satz von Vieta? ›

Satz von Vieta – Nullstellen berechnen. Um die Nullstellen von einer quadratischen Funktion zu bestimmen, wird die Funktion gleich gesetzt. Zur Erinnerung: Eine quadratische Funktion besitzt die allgemeine Form ² f ( x ) = a x ² + b x + c und entspricht grafisch einer Parabel.

Was sagt der Satz vom Nullprodukt aus? ›

Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Den Satz vom Nullprodukt kannst Du häufig bei der Berechnung von Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen, sowie generell beim Lösen von Gleichungen nutzen.

Hat eine quadratische Gleichung immer 2 Lösungen? ›

Eine quadratische Gleichung der Form x2=a mit a > 0 hat immer 2 Lösungen. Eine Zahl x ist dann Lösung einer Gleichung, wenn durch Einsetzen der Zahl x die Gleichung zu einer wahren Aussage wird. Die Wurzel aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl.

Wann ist eine quadratische Gleichung nicht lösbar? ›

Reinquadratische Gleichungen lösen

Wenn du aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen müsstest, ist deine reinquadratische Gleichung nicht lösbar. Das ist zum Beispiel in der Gleichung x2=–81 der Fall.

Wie geht das Substitutionsverfahren? ›

Bei der Substitution ersetzt (auch substituierst) du einen bestimmten Term deiner Gleichung durch einen anderen Term, oft nur eine einzelne Variable. Du erleichterst dir also den Rechenweg, indem du etwas Schweres durch etwas Einfaches vorübergehend ersetzt.

Was muss man bei der Mitternachtsformel beachten? ›

Mit Hilfe der abc-Formel, auch genannt Mitternachtsformel, lassen sich quadratische Gleichungen einfach lösen. Wichtig sind dabei folgende zwei Punkte zu beachten: Die quadratische Gleichung muss in der Normalform stehen und. die Vorzeichen müssen strikte beachtet werden.

Was tun wenn PQ-Formel nicht funktioniert? ›

Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn in der p q pq pq-Formel der Term unter der Wurzel negativ ist. Ist die quadratische Gleichung nicht in Normalform gegeben, so dividiere die Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes.

Kann man die PQ-Formel auch ohne Q anwenden? ›

Die pq-Formel funktioniert deswegen trotzdem noch. Allerdings gibt es dann einfachere Wege, um an die Lösungen zu kommen. Ist q = 0, so kannst du p einfach auf die andere Seite bringen und durch einfaches Wurzelziehen deine Lösungen erhalten. Ist p hingegen NULL, so lässt sich ein x ausklammern.

Was kann man statt PQ-Formel machen? ›

Mithilfe der sogenannten "Mitternachtsformel" (auch "Lösungsformel", abc-Formel oder "Quadratische Lösungsformel" genannt) lassen sich quadratische Gleichungen lösen und so Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

Wie geht die Lösungsformel? ›

Die Normalform der quadratischen Gleichung lautet: x²+bx+c = 0. Quadratische Gleichungen ohne Absolutglied lauten: ax²+bx = 0. Wie lautet die Lösungsformel für quadratische Gleichungen? Die Lösungsformel für die quadratische Gleichung der Normalform x²+px+q = 0 wird als pq-Formel bezeichnet.

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